O que é matriz transposta?

Matriz transposta é dada pela troca da linha pela coluna. Suponha uma matriz M3×2 , logo a matriz transposta de M será M2×3.

Representação: Seja B uma matriz qualquer, então sua matriz transposta será representada por Bt.

Exemplos:

1 – Seja M = matriz transposta, logo sua matriz transposta Mt = matriz transposta

2 – Dada a matriz S = matriz transposta, encontre St. (resposta).

Veja também outros assuntos relacionados a Matriz:

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras Logo

Quem foi Pitágoras

Pouco se sabe exatamente sobre Pitágoras. Seu nome é Pitágoras, nasceu em na Grécia, na ilha de Samos por volta de 570 a.C (antes de Cristo) e morreu por volta de 496a.C. Foi filósofo e matemático. Foi responsável por fundar a escola conhecida como pitagórica.
Casou-se com uma de suas alunas, a física e matemática Theano, com quem teve duas filhas.

Demonstração do Teorema de Pitágoras

A demonstração exata que Pitágoras fez para provar seu teorema não é conhecida, mas existem várias demonstrações do Teorema de Pitágoras. A demonstração a seguir é chamada de demonstração por comparação de áreas.
Teorema de Pitágoras Demonstração imagem 1

Na figura acima, estão representados dois quadrados e quatro triângulos retângulos.

  • O quadrado número 1 possui lado de medida ‘a’;
  • O quadrado número 2 possui lado de medida ‘b’;
  • O triângulo retângulo número 3 possui os catetos medem ‘a’ e ‘b’ e hipotenusa ‘c’;
  • O triângulo retângulo número 4 possui os catetos medem ‘a’ e ‘b’ e hipotenusa ‘c’;
  • O triângulo retângulo número 5 possui os catetos medem ‘a’ e ‘b’ e hipotenusa ‘c’;
  • O triângulo retângulo número 6 possui os catetos medem ‘a’ e ‘b’ e hipotenusa ‘c’.

Cada número, de 1 a 6, representa uma área. Separei as figuras por cor para facilitar a visualização. Quando fazemos o rearranjo das figuras, conforme abaixo, podemos colocar cada triângulo retângulo em um canto de forma que as hipotenusas dos triângulos retângulos formem um quadrado de lado ‘c’. Com isso concluímos que a área do quadrado formado é igual a ‘c²’ e também à soma das áreas dos quadrados 1 (a²) e 2 (b²).
Teorema de Pitágoras Demonstração imagem 2

Dessa forma, fica provado que qualquer que seja o triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa será sempre igual à soma dos quadrados dos seus catetos.

Observação sobre o triângulo retângulo:

  • A hipotenusa é o lado maior;
  • A soma dos catetos é sempre maior do que a hipotenusa.

Teorema de Pitágoras Fórmula

A citação do Teorema de Pitágoras é a própria fórmula. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é sempre igual à soma do quadrado dos catetos.

Considere o triângulo retângulo abaixo.

Triângulo Retângulo

Em que:

  • ‘c’ é hipotenusa;
  • ‘a’ é cateto;
  • ‘b’ é cateto.

Então podemos dizer que a fórmula do Teorema de Pitágoras é:

Teorema de Pitágoras Fórmula

Para encontrar a medida de cada lado utilize:

Teorema de Pitágoras Fórmula

Teorema de Pitágoras Exercícios Resolvidos

1 – Calcule a medida da hipotenusa no triângulo retângulo abaixo.

Teorema de Pitágoras Exercícios Resolvidos

2 – Calcule o valor de X na figura abaixo.
Teorema de Pitágoras Exercícios Resolvidos

Como fazer soma e produto para resolver equação do 2º grau

Soma e Produto LogoA soma e produto é uma variação da Fórmula de Bhaskara . A soma e produto é um método de calcular as raízes da equação do 2º grau e estabelece duas relações entre as raízes e os coeficientes da equação. Quando encontramos dois números que satisfazem as duas relações simultaneamente, então obtemos as raízes da equação. Sabemos que a forma geral da equação do 2º grau é:
Soma e Produto Fórmula Geral

Fórmula da soma e produto

A fórmula da soma é produto são as duas relações que devem ser satisfeitas. Sejam x1 e x2 as raízes da equação, então:
Soma e Produto Fórmula
O desafio na soma e produto é encontrar dois números, tais que satisfaçam as relações acima.

Dica Soma e Produto

Minha dica para resolver equação do 2º grau usando soma e produto é encontrar primeiro dois números que atendam a relação do produto. Apesar das possibilidades serem infinitas, em exercícios da escola, vestibulares e concursos as possibilidades são limitadas. Portanto, foque primeiro no produto e depois veja se satisfaz a soma também.

Soma e Produto Exercícios Resolvidos Passo a Passo

Exemplo 01 – Encontre as raízes da equação do 2º grau: x² – 5x + 6 = 0.

Olhando a equação do 2º grau identificamos os coeficientes a = 1, b = -5 e c = 6. Aplicando a regra soma e produto, calculamos que a soma das raízes é 5 e o produto é 6. Então, temos que encontrar dois números cuja soma seja igual a 5 e o produto seja igual a 6. Os únicos números que satisfazem essas condições são 2 e 3.
Soma e Produto Exemplo 01 a
Soma e Produto Exemplo 01 b

Exemplo 02 – Encontre as raízes da seguinte equação do segundo grau: X² – 12X + 32 = 0.

Olhando a equação do 2º grau identificamos os coeficientes a = 1, b = -12 e c =32. Calculamos que a soma das raízes é 12 e o produto é 32. Temos, então, que encontrar dois números que somados dão 12 e multiplicados dão 32. Os únicos números que satisfazem essas condições são 4 e 8.
Soma e Produto Exemplo 02 a
Soma e Produto Exemplo 02 b

Lembrando que se você encontrar duas raízes iguais isso significa que ∆ (delta) é igual à zero.

PG – Progressão Geométrica

PG Progressão Geométrica logoProgressão geométrica é caracterizada por ter seus termos, a partir do segundo, obtidos pelo produto de q (razão da PG) com o termo anterior.

Fórmula da Razão da PG

A chamada razão da PG é uma constante representada geralmente pela letra ‘q’. É a partir da razão da PG que será determinado todos os termos, portanto ela é parte fundamental da PG.
A razão da pg (q), também conhecida como razão geométrica, é calculada fazendo a divisão de qualquer termo, exceto o 1º termo, pelo termo anterior. A fórmula da razão da PG é:

Fórmula da Razão da PG

Exemplo de como calcular a razão da PG

Encontre a razão geométrica da seguinte PG( 2, 6, 18, 54 ).
Utilizando a fórmula da razão da PG, vou calcular de 3 formas. Observem que o resultado é sempre o mesmo.
PG Progressão Geométrica
Assim mostramos que a razão dessa PG é 3 e que não importa qual termo escolhemos, desde que não seja o 1º. Se for feita a divisão com o termo anterior a ele, o resultado será sempre o mesmo. Portanto a razão da PG é uma constante.

Fórmula do termo geral da PG

Quer saber qual o 30º ou o 158º termo da PG? Com a fórmula do termo geral da PG é possível calcular o valor de qualquer termo da PG. Para isso basta aplicar a fórmula. Ao final do post tem exercícios resolvidos que servem de exemplo.

Fórmula do Termo Geral da PG
Em que,

­an: N ésimo termo da PG (termo qualquer da PG – o termo que quer encontrar);
ak: K ésimo termo da PG (termo qualquer da PG – você deve conhecer o valor desse termo);
q(n-k): razão da PG elevada a diferença de n-k.

Soma dos Termos da PG

Soma de todos os termos da PG

A fórmula a seguir nos retorna como resposta a soma de todos os termos da PG.
Fórmula da Soma dos Termos da PG

Soma dos termos em um intervalo da PG

A fórmula seguinte nos retorna como resposta a soma dos termos em um intervalo de ‘r’ a ‘t’.
Fórmula da Soma dos Termos em um Intervalo da PG

Soma dos termos de uma PG decrescente e infinita

Para uma PG ser decrescente a razão geométrica tem que estar no intervalo: 0 < q < 1, ou seja, maior do que 0 e menor do que 1. Sabendo que a PG é infinita e decrescente, então o último termo an será zero. A fórmula da soma dos termos de um PG infinita e decrescente é:
Fórmula da Soma dos Termos da PG Infinita e Decrescente

Como calcular área – Quadrado

Existem muitos tipos de figuras geométricas e cada uma com uma forma diferente. Não vou ensinar a calcular várias áres em um único post para o post não ficar muito grande. Por isso, vou fazer diversos posts pequenos ensinando como calcular áreas de cada figura geométrica, uma de cada vez.

Para começar, achei melhor aprendermos o mais fácil e básico que é calcular a área do quadrado.
O quadrado é uma figura geométrica plana. Ele é formado por quatro lados de mesmos tamanhos. Em cada encontro dos lados é formado um ângulo interno de 90°, portanto a soma dos ângulos internos do quadrado é igual a 360°.
área do quadrado

Fórmula da área do quadrado

A fórmula da área do quadrado é definida pelo comprimento do lado elevado ao quadrado. Sabendo a medida do comprimento do lado de um quadrado podemos calcular sua área.
Fórmula da área do quadrado
Portanto, em um quadro cujo lado mede ‘l’, a área desse quadrado será ‘l²’.

Exemplo de como calcular área do quadrado

:
1 – Supondo que temos um quadrado e seus lados medem 5cm, então a área desse quadrado será:
Área = 5² = 25cm²

2 – O lado de um quadrado mede 12m. Qual é a área desse quadrado?
área = 12² = 144m²

3 – Calcule a área de um quadro cujo lado mede 10m.
área = 10² = 100m².

A unidade de medida de uma área – não importa a figura – será sempre a unidade de medida dos lados elevado ao quadrado.

Como resolver equação do primeiro grau

Nesse artigo você vai aprender como resolver uma equação do primeiro grau e mais adiante vou ensinar como resolver uma equação do segundo grau. Antes de querer resolver as equações do primeiro grau é importante introduzir sobre o assunto. A grande utilidade da equação é a possibilidade de expressar de forma matemática problemas propostos. A forma matemática da equação do primeiro grau é:
Equação do primeiro grau

Em que, a e b são constantes e x é a incógnita. Dado um problema, para expressar em forma de equação precisamos identificar, através da interpretação do enunciado, quem são as constantes e a incógnita.

Exemplo 01

João tem 10 balinhas, se juntar com as balinhas que Maria tem então terão 25 balinhas. Quantas balinhas Maria têm?
Solução:
Sendo J (constante) as balinhas de João e M (incógnita) a quantidade de balinhas de Maria, então:
Equação do primeiro grau

Maria tem 15 balinhas.
O maior problema para resolver um problema de equação do primeiro grau é a interpretação do problema. No enunciado do exemplo acima, o trecho ‘se juntar com as balinhas de Maria’ indica que devemos somar as balinhas de João e Maria. Ao somar a quantidade de balinhas vamos ter 25 balinhas. Feito isso, isolamos a incógnita de um lado da equação e passamos subtraindo para o outro lado a quantidade de balinhas do João.

Exemplo 02

Antônio queria comprar um lanche que custava R$13,00 reais. Quando foi pagar Antônio percebeu que só tinha R$7,00 reais. Quanto falta para Antônio poder comprar o lanche?
Solução:
Sendo X o tanto que falta para Antônio comprar o lanche, então:
Equação do primeiro grau

Falta R$6,00 para Antônio comprar o lanche.
Para resolver essa equação, novamente temos que interpretar o enunciado. Quando lemos que falta certa quantia para inteirar os R$13,00, devemos somar o que temos com o que falta e igualar ao valor total. Dessa forma montamos e podemos resolver a equação do primeiro grau.
Agora que você aprendeu como resolver uma equação de primeiro grau, pegue exercícios e resolva eles, pois a prática é a melhor maneira de fixar o que você aprendeu. Se tiver algum problema deixe nos comentários.