Progressão geométrica é uma sequência numérica em que os termos, a partir do segundo, são obtidos pelo produto de razão geométrica (q) com o termo anterior.
Dessa forma, a PG pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante, dependendo se a razão geométrica.
Em uma PG crescente, os números sequenciais são sempre maiores do que o número anterior, sendo a razão geométrica e o primeiro termo sempre maiores do que zero (q>0 e a1>0). Ex.: PG(2,6,18,54,162,…)(q=3).
Por outro lado, a PG decrescente tem os números sequenciais menores do que o número anterior, sendo a razão geométrica sempre maior do que zero (q>0). Ex.: PG(-2,-6,-18,-54,-162,…)(q=3) ou PG(100, 50, 25,…)(q=0,5).
Já na PG oscilante, a sequência é composta por números intercalados entre positivos e negativos, sendo a razão geométrica sempre menor do que zero (q<0). Ex.: PG(-2,+6,-18,+54,-162,…)(q=-3).
Por último, na PG constante todos os termos da sequências são iguais, sendo a razão geométrica sempre igual a um (q=1). Ex.: PG(3,3,3,3,3,…)(q=1)
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Fórmula da Razão da PG
A chamada razão da PG é uma constante representada geralmente pela letra ‘q’. É a partir da razão da PG que será determinado todos os termos, portanto ela é parte fundamental da PG.
A razão da pg (q), também conhecida como razão geométrica, é calculada fazendo a divisão de qualquer termo, exceto o 1º termo, pelo termo anterior. A fórmula da razão da PG é:
Exemplo de como calcular a razão da PG
Encontre a razão geométrica da seguinte PG( 2, 6, 18, 54 ).
Utilizando a fórmula da razão da PG, vou calcular de 3 formas. Observem que o resultado é sempre o mesmo.
Assim mostramos que a razão dessa PG é 3 e que não importa qual termo escolhemos, desde que não seja o 1º. Se for feita a divisão com o termo anterior a ele, o resultado será sempre o mesmo. Portanto a razão da PG é uma constante.
Fórmula Progressão Geométrica
A progressão geométrica possui diversas fórmulas, sendo que as principais estão representadas abaixo:
Em que,
an: N ésimo termo da PG (termo qualquer da PG – o termo que quer encontrar);
ak: K ésimo termo da PG (termo qualquer da PG – você deve conhecer o valor desse termo);
q(n-k): razão da PG elevada a diferença de n-k.
Soma dos Termos da PG
Soma de todos os termos da PG
A fórmula a seguir nos retorna como resposta a soma de todos os termos da PG.
Soma dos termos em um intervalo da PG
A fórmula seguinte nos retorna como resposta a soma dos termos em um intervalo de ‘r’ a ‘t’.
Soma dos termos de uma PG decrescente e infinita
Para uma PG ser decrescente a razão geométrica tem que estar no intervalo: 0 < q < 1, ou seja, maior do que 0 e menor do que 1. Sabendo que a PG é infinita e decrescente, então o último termo an será zero. A fórmula da soma dos termos de um PG infinita e decrescente é: