PA – Progressão Aritmética

PA - Progressão Aritmética LogoProgressão aritmética é caracterizada por ter os termos, a partir do segundo termo, formados pela soma de uma constante r (razão artitmética) com o termo anterior.
A razão pode ser encontrada facilmente seguindo a definição:

r = an- an-1, em que n é o índice da PA.

Exemplo de razão aritmética:

1- Encontre a razão da PA ( 5, 8, 11, 14, 17 ).
Temos que a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, a5 = 17.
r = a2 - a1 = 8 -5 = 3
Pronto a razão aritmética dessa PA é 3, mas para mostrar que independe do termo escolhido, desde que seja um termo subtraido do seu antecessor, vou fazer com os outros termos:
r = a3 - a2 = 11 - 8 = 3
r = a4 - a3 = 14 - 11 = 3
r = a5 - a4 = 17 - 14 = 3
A razão aritmética é uma constante.

Fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética

Existe uma fórmula da PA que nos permite encontrar qualquer termo de uma PA. Essa fórmula é chamada de fórmula do termo geral da PA.

Fórmula do termo geral da PA
Fórmula do termo geral daPA

Uma desvantagem dessa fórmula é que você precisa do termo a1. Entretanto existe uma outra fórmula que elimina essa desvantagem. Vejam:

formula da PA
Fórmula do termo geral da PA, em que k é um índice qualquer da PA.

Agora podemos encontrar qualquer termo an a partir de qualquer termo ak e não necessariamente a partir do termo a1, como era proposto na primeira fórmula do termo geral da PA.

Fórmula da soma dos termos da Progressão Aritmética

Fórmula para somar os n primeiros termos da PA:

soma dos termos da pa
Infelizmente essa fórmula só permite somar os termos a partir do primeiro termo a1. Se você quer saber o somatório somente dos termos de a6 até a10, por exemplo, você vai ter que fazer a soma de a1 até a10 e subtrair da soma de a1 até a5.

Exercício resolvido de Progressão Aritmética

1 - Encontre o 35º termo da progressão aritmética PA(3,9,15,21,27...,a35).
O primeiro passo é determinar a razão (r).
r = a2 -a1
r = 9 - 3
r = 6
Agora que temos a razão vamos utilizar a fórmula geral da progressão aritmética.
an = a1 + (n - 1).r
a35 = 3 + (35 - 1).6
a35 = 3 + (34).6
a35 = 3 + 204
a35 = 207

2 - Qual a soma dos termos da progressão aritmética PA(8,15,22,29,...,a12)?
Para podermos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética precisamos encontrar o último termo da PA. Então, primeiro vamos calcular a12. Para isso, o primeiro passo é encontrar a razão (r).
r = a2 -a1
r = 15 - 8
r = 7
Como fizemos no exercício anterior, vamos colocar os dados na fórmula geral da progressão aritmética.
an = a1 + (n - 1).r
a12 = 8 + (12 - 1).7
a12 = 8 + (11).7
a12 = 8 + 77
a12 = 85
Agora que temos o primeiro e o último termo da PA podemos aplicar a fórmula da soma dos termos da progressão aritmética.
Sn = (a1 + an).n/2
S12 = (8 + 85).12/2
S12 = (93).6 (simplifiquei 12/2 = 6)
S12 = 558

3 - Encontrar o vigésimo termo da PA(5,8,11,...).

11 thoughts on “PA – Progressão Aritmética

  1. Pingback:

    1. Você pode descobrir todos os termos da PA calculando um por um. Se tem o primeiro termo e a razão é só ir somando. Agora, se quer saber um termo em específico da PA utilize a fórmula da PA.

      Reply
  2. Amanda Viana

    Olá, já busquei em vários sites e não consigo encontrar o conteúdo que necessito. Como faço para encontrar a lei de formação de uma P.A? Se possível, dê-me exemplos. Grata.

    Reply

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