Pirâmides

As pirâmides são figuras geométricas classificadas de acordo com o formato da base. Como exemplo, as pirâmides do Egito são pirâmides quadrangulares, pois possuem a base no formato de um quadrado. Ademais, nosso estudo é direcionado à pirâmide regular reta.

Índice

• Classificação das pirâmides
• Elementos das pirâmides
  • Vértices
  • Arestas
  • Altura
  • Área da base
  • Área lateral
  • Ponto central da base
  • Raio da circunferência circunscrita
  • Apótema da base
  • Apótema lateral
• Fórmulas das pirâmides
  • Fórmula da área da pirâmide
  • Fórmula do volume da pirâmide
  • Outras fórmulas
• Tronco da pirâmide
• Exercícios resolvidos

CLASSIFICAÇÃO DAS PIRÂMIDES

As pirâmides são classificas de acordo com a forma da base, então:

• Pirâmides triangulares: a base é um triângulo;
• Pirâmide quadrangular: a base é um quadrado;
• Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono;
• Pirâmide hexagonal: a base é um hexágono;
• Pirâmide heptagonal: a base é um heptágono;
• E assim por diante.

Em todos os casos, a lateral das pirâmides possuem a forma de um triângulo, portanto a área lateral é sempre a soma das áreas de triângulos.

ELEMENTOS DAS PIRÂMIDES

Assim como em outras figuras geométricas, a pirâmide possui elementos que identificam suas medidas. Dessa forma, os elementos são os mesmos em todas as pirâmides, alterando somente as medidas.

Sendo assim, vamos indicar cada parte da pirâmide para que quando for mencionado nos exercícios você possa montar a pirâmide corretamente.

• Vértices: representam os pontos de união com outras arestas.
  • Vértice da pirâmide (V): pico da pirâmide, onde todas as arestas laterais se encontram.
  • Vértices da base (A; B; C; D): ponto de encontro das arestas na base da pirâmide.
• Arestas: são as medidas entre os vértices.
  • Aresta lateral (VA; VB; VC; VD): é a reta que vai do vértice da pirâmide até um vértice da base.
  • Aresta da base (AB; BC; CD; DA): é a reta que liga os vértices da base.
• Altura da pirâmide (h): medida da reta entre o vértice da pirâmide e o centro da base.
• Área da base: área da figura geométrica formada na base da pirâmide. Assim, sua fórmula dependerá do tipo de pirâmide.
• Área lateral: área formada pelos triângulos que compõem as superfícies laterais. Logo, sua fórmula é a fórmula da área do triângulo.
• Ponto central (P): centro da área da base.
• Raio da circunferência circunscrita (R): medida do ponto P até qualquer vértice da base.
• Apótema da base (m): reta que vai do ponto P até qualquer aresta da base, de modo que forme um ângulo de 90° com a aresta da base.
• Apótema lateral (m’): é a altura do triângulo que forma a lateral da pirâmide.

FÓRMULAS DAS PIRÂMIDES

Em virtude da variedade de elementos que compõem uma pirâmide, existem diversas fórmulas que podem ser aplicadas para calcular as medidas.

Na figura a seguir, segue em resumo as principais fórmulas:

FÓRMULA DA ÁREA DA PIRÂMIDE

Tal como dissemos, a área lateral da pirâmide é formada por triângulos e a base por polígonos regulares. Por isso, vamos calcular a área total da pirâmide em duas etapas: área da base e área lateral.

1. Calcular área da base
   Se for um triângulo, basta calcular a área do triângulo, por outro lado, se for um quadrado, calcule a área do quadrado. Entretanto, como a base de uma pirâmide reta é sempre um polígono regular, podemos dividir o polígono em triângulos, calcular a área de um triângulo e multiplicar pela quantidade de lados do polígono.
2. Calcular área da lateral
   A lateral da pirâmide sempre é formada por triângulos de mesma área, portanto calcule a área de um triângulo da lateral e multiplique pela quantidade de lados.
3. A área total da pirâmide é a soma da área da base mais a área lateral.

FÓRMULA DO VOLUME DA PIRÂMIDE

Diante de tantas fórmulas, a melhor maneira é entender que o volume da pirâmide é igual a um terço da área da base multiplicado pela altura da pirâmide.

OUTRAS FÓRMULAS

Usando o Teorema de Pitágoras podemos estabelecer algumas relações:

1. Relação entre o apótema lateral (m’), altura da pirâmide (h) e o apótema da base (m).
   
2. Relação entre a aresta lateral (l), altura da pirâmide (h) e (r).
3. Relação entre o apótema lateral (m’), aresta lateral (l) e o lado da base (b).
   

TRONCO DA PIRÂMIDE

Assim como ocorre ao cortar uma árvore, o tronco da pirâmide é a figura geométrica em que a parte superior da pirâmide é removida, restando apenas o tronco.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Por fim, os exercícios ajudarão a fixar todo o conteúdo apresentado.

• Exercícios resolvidos sobre pirâmides