Índice
O QUE É PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que os termos, a partir do segundo, são formados pela soma de uma constante r (razão aritmética) com o termo antecessor.
Dessa forma, a progressão aritmética pode ser crescente ou decrescente, dependendo se a razão aritmética é positiva ou negativa.
Elementos da progressão aritmética:
- Termos: são os números que formam a PA
- Exemplo: PA(a1, a2, a3, a4) possui 4 termos
- Índice: indica a posição dos temos
- Exemplo: PA(a1, a2, a3, a4) o 4º termo é a4
- Razão: diferença entre os termos
- Exemplo: PA(a1, a2, a3, a4) a razão é igual a a4 – a3
RAZÃO ARITMÉTICA
A razão da PA é a consta que somada ao termo anterior resulta no termo seguinte. Por isso, é um elemento fundamental na progressão aritmética.
- Fórmula da razão da PA: r = an– an-1
EXEMPLO DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Considere as progressões aritméticas abaixo:
- (3, 6, 9 , 12 , 15): PA crescente com razão 3 e 5 termos;
- (10, 6, 2, -2, -6, -10): PA decrescente de razão -4 e 6 termos;
- (-9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5): PA crescente de razão 2 e 8 termos.
Encontre a razão da PA ( 5, 8, 11, 14, 17 ).
Os termos dessa PA são: a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, a5 = 17. Logo, a razão é: r = a2 – a2 = 8 -5 = 3
Apesar de já termos determinado a razão dessa PA, vamos calcular utilizando os demais termos para provar que a razão aritmética é uma constante:
r = a3 – a2 = 11 – 8 = 3
r = a4 – a3 = 14 – 11 = 3
r = a5 – a4 = 17 – 14 = 3
FÓRMULA DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
A progressão aritmética possui diversas fórmulas, sendo que as principais estão representadas abaixo:
- Razão: calcula a razão da PA;
- Termo geral: calcula qualquer termo da PA
- Soma finita: calcula a soma de todos os termos da PA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
-
Calcule o 35º termo da progressão aritmética PA(3,9,15,21,27…,a35).
O primeiro passo é determinar a razão (r).
r = a2 -a1
r = 9 – 3
r = 6
Em seguida, utilizaremos a fórmula do termo geral da progressão aritmética.
an = a1 + (n – 1).r
a35 = 3 + (35 – 1).6
a35 = 3 + (34).6
a35 = 3 + 204
a35 = 207 -
Qual a soma dos termos da progressão aritmética PA(8,15,22,29,…,a12)?
Para podermos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética precisamos encontrar o último termo da PA. Então, primeiro vamos calcular a12. Para isso, o primeiro passo é encontrar a razão (r).
r = a2 -a1
r = 15 – 8
r = 7
Assim como no exercício anterior, vamos colocar os dados na fórmula do termo geral da progressão aritmética.
an = a1 + (n – 1).r
a12 = 8 + (12 – 1).7
a12 = 8 + (11).7
a12 = 8 + 77
a12 = 85
Agora que temos o primeiro e o último termo da PA podemos aplicar a fórmula da soma dos termos da progressão aritmética.
Sn = (a1 + an).n/2
S12 = (8 + 85).12/2
S12 = (93).6 (simplifiquei 12/2 = 6)
S12 = 558