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Polinômios exercícios

Polinômios são expressões algébricas composta por números, chamada de coeficiente, e letras, denominada parte literal.

1 – Dado o polinômio: ax³+(2a+b)x²+cx+d-4=0, os valores de a e b para que ele seja um polinômio de 2° grau são

a) a=0 e b=0
b) a=1 e b diferente de 0
c) a=0 e b diferente de 0
d) a=-1 e b=0
e) a=1 e b=1

Para que seja um polinômio de 2° grau, x³ deve desaparecer. Para isso, a deve ser igual a 0. Além disso, (2a+b) deve ser diferente de 0. Portanto, sendo a=0, b deve ser diferente de 0. Dessa forma, concluímos que a resposta é a alternativa c.

2 – O resto da divisão do polinômio x5-3x²+1 pelo polinômio  x²-1 é:

a)  x-1
b) x+2
c) 2x-1
d) x+1
e) x-2

Organizei a divisão utilizando uma tabela. Na primeira coluna temos o polinômio que será divido e seu resto após cada operação. Em seguida, na segunda coluna temos o denominador e na terceira coluna temos o quociente. Por último, temos o produto do denominador pelo quociente.

abcd = b*c
x5-3x²+1x²-1x5-x³
(x5-3x²+1) – (x5-x³) = x³-3x²+1x²-1xx³-x
(x³-3x²+1)-(x³-x) = -3x²+x+1x²-1-3-3x²+3
(-3x²+x+1)-(-3x²+3) = x-2

3 – Dado o polinômio P(x)=x³-2x²+mx-1, onde m pertence ao conjunto dos números reais. Se P(2)=3, calcule P(m).

O primeiro passo é calcular m.

P(2)=3
2³-2.2²+2m-1=3
8-8+2m-1=3
2m=4
m=2

Na sequência, teríamos que calcular polinômio P(m), mas P(m)=P(2). Logo, P(m) = 3.

4 – Sendo x³+1=(x+1).(x²+ax+b) para todo valor real de x, quanto vale a+b?

Vamos multiplicar os polinômios e organizar.

x³ + 1 = x.x² +x.ax + xb + x² + ax + b
x³ + 0.x² + 0.x + 1 = x³ + ax² +bx +x² + ax + b
x³ + 0.x² + 0.x + 1 = x³ + ax²+ x² + ax + bx + b
x³ + 0.x² + 0.x + 1 = x³ + (a+1)x² + (a+b)x +b

Comparando a última linha, podemos ver que:

a+1 = 0, assim a = -1
b = 1
a+b = 0