Equação do 2° grau

Índice

• O que é equação do 2° grau?
  • Exemplos
• Fórmula de Bhaskara
• Fórmula de delta
• Equação do 2° grau completa e incompleta
• Como resolver equação do 2° grau completa
  • Exemplos
  • Soma e produto
    • Exemplos
• Como resolver equação do 2° grau incompleta
• Sistema de equação do 2° grau
  • Exemplo
• Gráfico da equação do 2° grau
• Exercícios
• Créditos

O QUE É EQUAÇÃO DO 2° GRAU?

Equação do 2° grau é uma equação que possui pelo menos uma variável quadrática, por isso também é chamada de equação quadrática. Dessa maneira, podemos representar a equação do 2° grau da seguinte forma: ax² + bx + c = 0.

Sendo que:

• x²: variável do 2° grau. Sua existência é obrigatória para configurar uma equação quadrática.
• x: variável de 1° grau.
• a: coeficiente principal, visto que acompanha a variável quadrática. Assim, nunca será igual a zero (a≠0);
• b: coeficiente secundário, pois acompanha a variável de 1° grau;
• c: termo independente, tendo em vista que é desvinculado de qualquer variável.

EXEMPLOS

Considere a equação: 2x² + 3x + 1 = 0. Nesse caso temos uma equação do 2° grau, visto que a variável quadrática está presente e seu coeficiente é diferente de 0.

• a = 2
• b = 3
• c = 1

A solução dessa equação resulta em x’ = -0,5 e x” = -1,5. Isso significa que se substituirmos esses valores na equação, obteremos zero como resultado.

FÓRMULA DE BHASKARA

A fórmula de Bhaskara serve para calcular as raízes da equação do 2° grau, ou seja, são os valores que a variável assume para que a equação seja igual a zero.

Com isso, reforça a ideia de que a incógnita “a” deve ser diferente de zero.

FÓRMULA DE DELTA

Apesar da fórmula de delta estar embutida na fórmula de Bhaskara, vale destacar sua existência e interpretação do resultado de delta.

Dito isso, a fórmula de delta é dada pelo quadra de “b” subtraído do produto de “4ac”.

A partir do valor de delta, podemos obter as seguintes informações:

• ∆ > 0: delta maior do que 0
  • a equação possui duas raízes diferentes
  • o eixo horizontal do gráfico será tocado duas vezes pela parábola
• ∆ = 0: delta igual a 0
  • a equação possui uma raiz
  • o eixo horizontal do gráfico será tocado uma vez pela parábola
• ∆ < 0: delta menor do que 0
  • a equação não possui duas raízes
  • o eixo horizontal do gráfico não será tocado pela parábola

EQUAÇÃO DO 2° GRAU COMPLETA E INCOMPLETA

Independentemente de ser completa ou incompleta, em ambos os casos a regra para existência da equação do 2° é a mesma:

• variável quadrática
• coeficiente principal diferente de zero

Disto isso, dizemos que uma equação do 2° grau é completa quando os coeficientes “b” e “c” são diferentes de zero.

• ax² + bx + c = 0

Por outro lado, uma equação quadrática é incompleta quando, pelo menos um dos coeficientes “b” ou “c” é igual a zero.

• ax² + bx = 0
• ax² + c = 0
• ax² = 0

COMO RESOLVER EQUAÇÃO DO 2° GRAU COMPLETA

Quando dizemos em resolver uma equação do segundo grau estamos nos referindo a calcular as raízes da equação.

Para isso, em uma equação completa, utilizamos a fórmula de Bhaskara. Entretanto, recomendo calcular delta primeiro, visto que se o valor for negativo, sabemos que inexiste raiz real e, portanto, não há necessidade de prosseguir com os cálculos.

Dessa forma, podemos estabelecer um passo a passo:

1. Calcular delta
   1. Se delta for menor do que zero, então não tem raiz real. Fim.
   2. Se delta for igual ou maior do que zero então vamos ao próximo passo;
2. Utilizar a fórmula de Bhaskara

EXEMPLOS

1. Resolva a equação: x² – 4x + 3 = 0.

Antes de iniciar os cálculos, vamos organizar os dados:

• a = 1
• b = -4
• c = 3

O primeiro passo é calcular delta.

$delta\; =\; b²\; –\; 4ac$
$delta\; =\; (-4)²\; –\; 4\; .\; 1\; .\; 3$
$delta\; =\; 16\; –\; 12$
$delta\; =\; 4$

Com isso, sabemos que são duas raízes reais, portanto devemos prosseguir usando a fórmula de Bhaskara.

Substituímos os coeficientes na fórmula, sendo que do lado esquerdo usamos o sinal de soma, enquanto que no lado direito usamos o sinal de subtração. Ao fim, obtivemos as duas raízes da equação.

Ainda podemos confirmar a resposta substituindo as raízes na equação. Se o resultado for igual a zero, então está correto.

x² – 4x + 3 = 0	x² – 4x + 3 = 0
3² – 4.3 + 3	1² – 4.1 + 3
9 – 12 + 3	1 – 4 + 3
12 – 12	4 – 4
0	0
resultado confirmado	resultado confirmado

2. Resolva a equação: –x² + 2x – 1 = 0.

Organizando os dados:

• a = -1
• b = 2
• c = -1

O primeiro passo é calcular delta.

$delta\; =\; b²\; –\; 4ac$
$delta\; =\; (2)²\; –\; 4\; .\; (-1)\; .\; (-1)$
$delta\; =\; 4\; –\; 4$
$delta\; =\; 0$

Com isso, sabemos que x’ = x”, portanto prosseguiremos com a fórmula de Bhaskara.

Assim como havia dito, quando delta é igual a zero as raízes são iguais, logo x’ = x”.

Vamos confirmar o resultado:

–x² + 2x – 1 = 0
-(1)² + 2.1 – 1
-1 + 2 – 1
2 – 2
0
resultado confirmado

SOMA E PRODUTO

Apesar de ser possível resolver com a fórmula de Bhaskara, às vezes é possível resolver pelo método “soma e produto”.

Esse método consiste em estabelecer uma relação de igualdade entre as raízes e os coeficientes da equação do 2° grau.

Dessa maneira, serão raízes da equação os dois números que satisfazer as duas condições.

Recomendo, começar pelo produto, visto que as possibilidades com números inteiros é menor.

EXEMPLO

1. Utilizes o método soma e produto para resolver a equação 2x² + 4x – 30 = 0.

O primeiro passo é organizar os dados:

• a = 2
• b = 4
• c = -30.

Vamos começar pelo produto. Para isso, calculamos o produto e listamos três possibilidades para satisfazer o produto.

• x’.x” = -30/2 = -15
• produto = -15

Em seguida, testamos qual dessas opções satisfaz a soma também.

• x’ + x” = -4/2 = -2
• soma = -2

produto = -15	soma = -2
1 . (-15)	1 + (-15) = -14 (não satisfaz)
3 . (-5)	3 + (-5) = -2 (satisfaz)
5 . (-3)	5 + (-3) = 2 (não satisfaz)

Dessa forma, obtemos as raízes {-5, -2}.

COMO RESOLVER EQUAÇÃO DO 2° GRAU INCOMPLETA

Da mesma forma que em uma equação completa, a equação incompleta também pode ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara ou o método “soma e produto”.

Entretanto, são mais simples de resolver utilizando as fórmulas abaixo:

SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2° GRAU

Sistema de equação é utilizado para calcular incógnitas diferentes que satisfaçam, simultaneamente, duas ou mais equações.

Assim como os sistemas de equação do 1° grau, podemos utilizar os métodos abaixo para resolver:

• método da substituição: isole uma incógnita e substitua na outra equação
• método da adição: some as duas equações, de forma que uma incógnita seja eliminada

EXEMPLO

1. Calcule “x” e “y” do sistema abaixo:

Nesse caso, a melhor maneira é o método da adição, visto que eliminaremos uma incógnita.

Em seguida, vamos resolver a equação do 2° grau x² + 2x – 8 = 0.

Para isso, vamos calcular delta:

∆ = b² – 4ac
∆ = 2² – 4.1.(-8)
∆ = 4+32
∆ = 36

Na sequência, usamos a fórmula de Bhaskara.

A partir desse resultado, agora podemos calcular o valor da outra incógnita.

Portanto, concluímos que a incógnita “x” é igual a 2 e a incógnita “y” pode ser -1 ou +1. Entretanto, “x” não pode ser -4, visto que isso resulta em “y” com raiz quadrada de número negativo.

GRÁFICO DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU

O gráfico da equação do 2° grau é uma parábola e pode ter a concavidade para cima ou para baixo, dependendo do coeficiente principal.

Na figura acima está representado o gráfico de duas equações do segundo grau, sendo que a única diferença entre elas é o sinal do coeficiente principal.

Desse modo, podemos destacar alguns pontos importantes:

• Concavidade: é a abertura da parábola
  • Se a>0, a concavidade é para cima
  • Se a<0, a concavidade é para baixo
• Vértice: indica o ponto mínimo ou máximo da parábola
  • Ponto mínimo, se a>0
  • Ponto máximo, se a<0
• Raiz: ponto em que a parábola toca o eixo horizontal

Vértice da parábola

O vértice da parábola corresponde ao ponto máximo ou mínimo e onde a parábola muda de direção.

EXERCÍCIOS

• Exercícios resolvidos sobre equação do 2° grau

CRÉDITOS

• Gráficos online – NumberEmpire.com