União de conjuntos

Operações envolvendo conjuntos são muito similares às operações numéricas de adição e subtração. O estudo dos conjuntos é extenso, mas não é difícil.

União de conjuntos

A união dos conjuntos é representada pelo símbolo U. Pode se dizer que união de conjuntos é quando há soma dos conjuntos, mas sem repetição dos elementos.

Exemplo de união de conjuntos

Considere os conjuntos
uniao de conjuntos 0
A união dos conjuntos A e B é representada por todos os elementos de A e o número 6 do conjunto B. Perceba que os números 2 e 4 estão presentes nos dois conjuntos. Na união, não se repete números, portanto a união dos conjuntos A e Bé {1, 2, 3, 4, 6}.
uniao de conjuntos 02
E se a união envolver mais de dois conjuntos? A regra é a mesma, são todos os elementos presentes em todos os conjuntos, mas sem repetição de elementos.
Veja esse exemplo de união envolvendo 3 conjuntos:
uniao de conjuntos 03
Seja D, o conjunto resultante de AUBUC, temos que:
uniao de conjuntos 04
Observe que apesar do número 1 aparecer no conjunto A e C, quando fizemos a união dos conjuntos não colocamos o número 1 repetidamente. O mesmo ocorre com os números 3 e 8.

Área do Trapézio

O trapézio faz parte da geometria plana, portanto não possui volume, apenas área. Uma característica do trapézio é a soma dos ângulos internos ser igual a 360°. Pela definição, para ser um trapézio, o quadrilátero plano convexo deve possuir 2 lados paralelos, que chamamos de base maior (o lado maior, também chamado carinhosamente de “bezão”) e base menor (o lado menor, chamado também de “bezim”). Podemos classificar o trapézio em 3 tipos:
Trapézio retângulo: composto por 2 ângulos retos.trapezio retangulo
Trapézio isósceles: composto por 2 lados paralelos de medidas diferentes e 2 lados não paralelos de medidas iguais.trapezio isosceles

Trapézio escaleno: todos os lados, paralelos e não paralelos, com medidas diferentes.trapezio escaleno

Área do trapézio

A fórmula da área do trapézio é a soma da área de 2 triângulos de mesma altura, mas com bases diferentes. As bases são os lados paralelos. Portanto temos que a área do trapézio é base maior mais a base menor, multiplicado pela altura, dividido por 2. “Bezão mais bezim, vezes altura, dividido por 2”.
formula area trapezio formula area trapezio

Como calcular área

Veja abaixo como calcular área de diversas figuras geométricas. Aqui você vai encontrar a fórmula e aprender como calcular área. Essa matéria envolve tanto geometria plana quanto geometria espacial.

Como calcular área do triângulo

O triângulo é uma figura geométrica plana. Existem 3 tipos de triângulos, em relação à medida dos lados:
• Triângulo isósceles: possui 2 lados com medidas iguais.
• Triângulo escaleno: todos os 3 lados possuem medidas diferentes.
• Triângulo eqüilátero: todos os lados possuem a mesma medida.
Além disso, existem 3 classificação de triângulos quanto à medida dos ângulos internos:
• Triângulo retângulo: um dos ângulos internos é igual a 90°.
• Triângulo ocutângulo: todos os ângulos internos são menores do que 90°.
• Triângulo obtusângulo: um dos ângulos internos é maior do 90°.
O triângulo é um figura formada por 3 lados. Um dos lados, que vamos chamar de base, porque geralmente fica na base, será nossa referência para a altura do triângulo. Todo triângulo possui altura, e ela é a medida que vai do vértice acima da base e desce reto até a base, formando um ângulo reto na base.
Pode-se dizer que essa é fórmula geral da área do triângulo, pois existem muitas formas de calcular a área de um triângulo, mas esta é a mais abrangente.
como calcular area do triangulo

A fórmula da área do triângulo é a base multiplicada pela altura dividido por 2.
como calcular area do triangulo

Como calcular área do quadrado

O quadrado é uma figura geométrica plana. Sua principal característica é que todos os 4 lados possuem a mesma medida.
Para calcular a área do quadrado, basta saber a medida do lado.

como calcular area do quadrado

A fórmula da área do quadrado é a medida do lado ao quadrado. Simples assim mesmo.
como calcular area do quadrado

Como calcular área do círculo

O círculo é uma figura geométrica plana. Por ser uma figura circular, não temos lados, mas temos o raio e o PI. O raio é a medida que vai, em linha reta, do centro do círculo até uma das extremidades do círculo. O PI é uma constante muito importante na matemática. Na maioria dos casos utiliza-se PI como 3,14.

como calcular area do circulo

A fórmula da área do círculo é o produto de PI pelo quadrado do raio.
como calcular area do circulo

Como calcular área do retângulo

O retângulo é uma figura geométrica plana. Muito parecido com o quadrado, o retângulo possui os lados paralelos com a mesma medida. Para o retângulo, vamos utilizar as denominações de base e altura para identificar os lados. A base é a parte que fica na base e a altura é a parte que forma um ângulo de 90° com a base.
como calcular area do retangulo
A fórmula da área do retângulo é a multiplicação da base vezes a altura (lado menor pelo lado maior).
como calcular area do retangulo

Como calcular área do cilindro

A área do cilindro é formado por 2 círculos que formam as bases do cilindro e por um retângulo que forma a área lateral do cilindro. Fica melhor de fazer essa observação com a figura de um cilindro recortado. Veja:
como calcular area do cilindro
A altura do cilindro é a medida que vai de uma base até a outra. Agora, uma observação importante! O perímetro da circunferência que forma a base é igual à medida do comprimento do retângulo que ser forma quando abrimos o cilindro.
A área total do cilindro será a soma da área de 2 círculos mais a área lateral que é um retângulo.
como calcular area do cilindro

Como calcular área do trapézio

O trapézio é uma figura geométrica plana. Trata-se de um quadrilátero que possui 2 lados paralelos. A soma dos ângulos internos é igual a 360°. O trapézio pode ser classificado conforme abaixo:
• Trapézio retângulo: possui 2 ângulos internos igual a 90°.
• Trapézio isóscele: os 2 lados não paralelos são congruentes.
• Trapézio escaleno: os 2 lados não paralelos não são congruentes.
Vamos chamar os lados paralelos de base menor e base maior. Obviamente, o lado menor é a base menor e o lado maior é a base maior. Outro elemento importante no trapézio é a altura. A altura de um trapézio é dada pela medida da reta que vai de uma base até a outra, formando um ângulo de 90°.
como calcular area do trapezio
A fórmula da área do trapézio é a soma da base menor com a base maior, multiplicado pela altura e dividido por 2.
como calcular area do trapezio

Como calcular área do hexágono regular

O hexágono regular é uma figura geométrica plana, formado por 6 triângulos equiláteros, portanto sua área é igual a 6 vezes a área de um dos triângulos que formam o hexágono regular. O apótema é dado pela medida que vai do centro de um polígono regular até um de seus lados, formando um ângulo de 90°. No caso do hexágono regular, o apótema é do que a altura do triângulo interno que forma o hexágono.
como calcular area do hexagono regular
A fórmula do apótema é a medida de um lado multiplicado pela raiz quadrada de 3, dividido por 2.
como calcular area do hexagono regular

A fórmula da área do hexágono regular é o produto de 3 vezes a medida de uma lado ao quadrado vezes raiz quadrada de 3, dividido por 2.
como calcular area do hexagono regular

Como calcular área do losango

O losango é uma figura geométrica plana. A maior característica do losango é que suas diagonais são perpendiculares, ou seja, no ponto em que se encontram formam um ângulo de 90°. A soma dos ângulos internos do losango é igual a 360°.
Para calcular a área do losango temos que saber a medida das diagonais. O losango possui duas diagonais, sendo uma maior (D) e outra menor (d).
como calcular area do losango
A fórmula da área do losango é o produto da diagonal maior com a diagonal menor, dividido por 2.
como calcular area do losango

Conjuntos numéricos

O estudo dos conjuntos numéricos permite classificar os números e agrupar por certas características. Cada conjunto/grupo de números possui uma letra que os representa. Veja os conjuntos representados em diagrama.
Conjunto numérico diagrama

Conjunto dos números naturais

Representa todo número inteiro positivo e o zero.

Conjunto numéricoQuando é adicionado o * no símbolo do conjunto dos números naturais, significa que o zero não está representado no conjunto.

Conjunto numérico

Propriedades:
1 – Qualquer número natural possui um sucessor.
2 – Qualquer número natural, exceto o zero, possui um antecessor.
3 – O conjunto dos números naturais é infinito.

Conjunto dos números inteiros

Representa todo o conjunto dos números naturais mais os números negativos.

Conjunto numérico

É possível encontrar as seguintes representações e cada uma tem um significado.
Asterisco na frente: significa que o conjunto não tem o número zero.

Conjunto numérico

Sinal de negativo na frente: o conjunto é formado somente pelos números negativos e o zero.

Conjunto numérico

Sinal de positivo na frente: o conjunto possui somente os números positivos e o zero. Nesse caso, torna se igual ao conjunto dos números naturais.

Conjunto numérico

Conjunto dos números racionais

Até aqui falamos apenas de números inteiros, mas a matemática também possui números fracionários. Portanto, esse conjunto engloba o conjunto dos números naturais e inteiros e adiciona os números fracionários.
Pela definição, pertence ao conjunto dos números racionais, qualquer número resultante da divisão entre um número qualquer “a” por “b”, sendo “b” diferente de zero.

Conjunto numérico

A divisão de “a” por ”b” resultará em um número inteiro ou fracionário, em ambos os casos pertencem ao conjunto dos números racionais.
Obs: todas as dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais.

Conjunto numérico

Leia o post de como aprender fração.

Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são fascinantes! Não podem ser obtidos pela divisão de dois números racionais e são dízimas não-periódicas. São números decimais infinitos, em que não há repetição de sequência numérica.
Alguns números irracionais merecem destaque na matemática.
1 – Número de Ouro
2 – PI
3 – √2
4 – Número de Neper
5 – √3

Conjunto dos números reais

O conjunto dos números reais engloba todos os conjuntos dos vistos até aqui: números naturais, inteiros, racionais e irracionais. É representado pela letra R.

Conjunto dos números complexos

O conjunto dos números complexos é composto pelos números que possuem uma parte que é chamada de imaginária. Essa parte imaginária é representada pela “i” e equivale a raiz quadrada de √(-1).
Exemplo de número complexo: Já pensou em como calcular a raiz quadrada de √(-16) ?

Conjunto numérico

Lei dos cossenos

A Lei dos Cossenos é fundamental no estudo da trigonometria, mais especificamente em triângulos. Como sabemos, nem todos os triângulos são retos, portanto não é possível aplicar a o Teorema de Pitágoras. Nesses casos, temos a opção de utilizar a Lei dos Cossenos. Até mesmo em triângulos retos às vezes será necessário a aplicação da Lei dos Cossenos.

A Lei dos Cossenos pode ser utilizada para calcular a medida do lado de um triângulo, mas pode ser utilizada para calcular o ângulo. Nesse caso, você vai calcular o cosseno do ângulo e a partir do cosseno calcular o ângulo.

Fórmula da Lei dos Cossenos

Dado um triângulo qualquer, temos as seguintes relações:
lei dos cossenos 01
lei dos cossenos 02

Dica para decorar a fórmula!! Observem na fórmula, que o ângulo utilizado para o cosseno é sempre o ângulo oposto ao lado que inicia a fórmula!
Portanto, para calcular a medida de um lado de um triângulo qualquer é preciso que o exercício informe pelo menos a medida dos outros 2 lados, e o valor do cosseno do ângulo oposto ao lado que queremos calcular.

Exemplos da Lei dos Cossenos

1 – Calcule a medida do lado “L” do triângulo abaixo:
lei dos cossenos 03lei dos cossenos 04

Na 1ª linha, apenas substitui os dados na fórmula. Na 2ª linha, resolvi as potências e as multiplicações e substitui cos(130) pelo valor informado no exercício. Na 3ª linha, somei 100+16 e realizei o jogo dos sinais – negativo com negativo fica positivo. Na 4ª linha,resolvi a multiplicação entre 80 e 0,642. Na 5ª linha, fiz a soma entre 116 e 51,36. Na 6ª linha, montei a raiz quadrada. O expoente 2 que estava em L passa como raiz quadrada para o outro lado da equação e com o sinal de + e -, pois é uma função quadrada com possibilidade de dois resultados. Na 7ª linha, exclui o resultado negativo, visto que se trata de medida e não existe medida negativa. Na 8º linha, resolvi a raiz quadrada usando uma calculadora.

2 – Calcule o valor de “x”:
Lei dos Cossenos 05

Lei dos Cossenos 06

Veja também:

Seno, cosseno e tangente
Seno exercícios resolvidos

Como aprender porcentagem

A porcentagem é uma das bases da matemática financeira. Nesse artigo, vou ensinar como aprender porcentagem. Você vai entender o que é porcentagem e vai aprender a calcular porcentagem. E como sempre digo, a melhor maneira de aprender é praticando, portanto ao final da explicação e exemplos, visite a página “Porcentagem – Exercícios Resolvidos“, resolva os exercícios e confira se está certo.

O que é porcentagem

A porcentagem é a representação de uma parte em relação a um número. Nem sempre a parte representada pela porcentagem é menor do que o número de referência. Quando a porcentagem é acima de 100%, isso significa que é maior do que o número de referência.
Veja os exemplos de porcentagem que representam partes menores ou iguais do que o número de referência. Nesse exemplo, o número de referência é 100.

* 2% de 100 = 2
* 10% de 100 = 10
* 50% de 100 = 50
* 90% de 100 = 90
* 100% de 100 = 100

Agora vejam exemplos de porcentagem que representam partes maiores do que o número de referência. Nesse exemplo, o número de referência é 100.
* 104% de 100 = 104
* 110% de 100 = 110
* 199% de 100 = 199
* 200% de 100 = 200
* 300% de 100 = 300
* 875% de 100 = 875

Porcentagem e Fração

A porcentagem pode ser representada na forma de fração e vice-versa. Isso é muito útil para a realização dos cálculos e muitas vezes a porcentagem no exercício vem na forma de fração que você deve passar para porcentagem.

Como passar porcentagem para fração e vice-versa

Representar porcentagem em fração é bem simples. O número da porcentagem é o numerador e 100 é o denominador, por isso o nome de porcen-tagem.
Por exemplo:
como aprender porcentagem 01

 

 

Agora passar fração para porcentagem requer conhecimento com fração e números fracionários. Dada uma fração, vamos dividir o numerador pelo denominador e o resultado multiplicar por 100. Pronto, convertemos fração para porcentagem. Podemos até escrever uma fórmula geral:
como aprender porcentagem 02
Exemplos:
como aprender porcentagem 03

Como calcular porcentagem

Na prática, calcular porcentagem é só uma questão de multiplicação. O grande problema nos exercícios que envolvem porcentagem é a interpretação para saber o que é para calcular, porcentagem do que. Se você consegue interpretar os exercícios, então eu digo que 90% da questão está resolvido.

Exemplo de como calcular porcentagem

Exemplo 1:
como aprender porcentagem 04

Exemplo 2:

como aprender porcentagem 05
Exemplo 3:
como aprender porcentagem 06

Questões resolvidas de porcentagem

Considere dois atletas A e B. Sabendo que o atleta A correu 20Km e que o atleta B correu 75% do que o atleta A correu, quantos Km o atleta B correu?
como aprender porcentagem 07

 

 

 

O salário de João é 80% do salário de Maria. Sabendo que Maria ganha R$5.000,00 por mês, qual o salário do João?

como aprender porcentagem 08

 

 

 

 

E se a situação fosse inversa? O exercício te fornece o salário do João e te pergunta o salário da Maria?
O salário de João é 80% do salário de Maria. Sabendo que João ganha R$4.000,00 por mês, qual o salário da Maria?
como aprender porcentagem 09

 

 

 

 

 

Sabe-se que para calcular férias é preciso adicionar um terço do salário ao salário. Considerando que Jorge tem um salário de R$2.100,00, quanto vai receber nas férias?
como aprender porcentagem 10

Como simplificar frações

Aqui no blog, já ensinei como trabalhar com frações, adição, subtração, multiplicação e divisão. Agora vou ensinar como simplificar frações. A vantagem de simplificar uma fração é a redução dos números a serem trabalhados. Na prática e considerando números inteiros e positivos, quanto menor um número mais fácil é de realizar cálculos com ele. Veja o exemplo abaixo:
Como Simplificar Fracão 01
Para resolver essa simples multiplicação de fração foi preciso multiplicar 729×48 e depois dividir esse número gigante por 18. Não é uma conta agradável de fazer e demanda mais tempo. Aplicando a simplificação, podemos evitar essa conta e economizar tempo. Veja como ficaria: Continue lendo “Como simplificar frações”

Como calcular desconto composto

O que é desconto?

Desconto é antecipação de recebíveis, tais como cheques, boletos, notas promissórias, etc. Para exemplificar, suponha que no dia 01/05/2014 um comerciante recebeu como pagamento pela venda de uma mercadoria um cheque de R$1.000,00 com a inscrição “bom para 01/08/2014”. Para atender a demanda de capital de giro da empresa, o comerciante procura seu banco para antecipar o valor do cheque. O banco adianta, por exemplo, R$ 950,00 ao comerciante e os outros R$ 50,00 fica para o banco pelo serviço de adiantamento. Nessa situação, cada valor possui um nome específico que iremos utilizar para falar sobre desconto composto.
* Valor nominal (N) ou valor de face (F): é o valor estampado no cheque, boleto ou outros. No nosso exemplo, o valor nominal é de R$ 1.000,00.
* Valor atual (A): é valor antecipado. No exemplo, o valor atual é de R$ 950,00.
* Valor do desconto (D): é o valor cobrado pelo banco. É calculado pela diferença do valor nominal e o valor atual. No exemplo acima, o valor do desconto é de R$ 50,00.

Fórmula geral do desconto

Continue lendo “Como calcular desconto composto”

Como Calcular Desconto Simples

Desconto SimplesNa matemática financeira o desconto é a antecipação de valores a receber. Existem dois tipos principais de desconto, mas o foco desse artigo é o desconto simples. Ainda dentro do desconto simples, existe dois tipos de desconto simples: comercial e racional. Em outro artigo escreverei sobre desconto composto.

Exemplo de desconto

Imagine que você é um comerciante e, ao vender uma mercadoria, recebe um cheque de R$1.000,00 com ‘bom para’ daqui a 90 dias. Devido a necessidade de capital de giro para comprar mais mercadorias você precisa de dinheiro agora, então a solução é descontar (antecipar) o cheque. O mais comum é procurar um banco que vai pegar o cheque como garantia e te adiantar R$ 800,00, por exemplo. Essa situação define uma operação de desconto de cheque.

Fórmula Geral do Desconto

Essa fórmula é bem simples e intuitiva, mas muito importante. Sua utilidade é ampla e serve tanto para o desconto simples quanto para o desconto composto. Continue lendo “Como Calcular Desconto Simples”