A equação do 2º grau é uma expressão matemática do tipo ax² + bx + c = 0, onde a ≠ 0. Ela é usada para encontrar valores de x que tornam a equação igual a zero. Para resolver, basta calcular o delta (Δ) e aplicar a fórmula de Bhaskara. Dependendo do valor do delta, a equação pode ter duas, uma ou nenhuma raiz real. Em alguns casos, também é possível resolver usando o método de soma e produto, que é mais rápido.
O que é equação do 2° grau?
Equação do 2° grau é uma equação que possui pelo menos uma variável ao quadrado, por isso também é chamada de equação quadrática. Ela pode ser representada da seguinte forma: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Sendo que:
- x²: termo de 2° grau (obrigatório)
- x: termo de 1° grau
- a: coeficiente principal (a ≠ 0)
- b: coeficiente do termo linear
- c: termo independente
Como resolver equação do 2º grau?
De forma simples, siga este passo a passo:
- Identifique os coeficientes (a, b e c)
- Calcule o delta (Δ)
- Aplique a fórmula de Bhaskara
- Simplifique o resultado
Para agilizar o processo, você pode usar nossa calculadora de delta.
EXEMPLOS
Considere a equação: 2x² + 3x + 1 = 0.
- a = 2
- b = 3
- c = 1
As soluções dessa equação são:
- x’ = -0,5
- x” = -1,5
Isso significa que se substituirmos esses valores na equação, obteremos zero como resultado.
FÓRMULA DE BHASKARA
A fórmula de Bhaskara é utilizada para encontrar as raízes da equação do 2º grau, ou seja, os valores de x que tornam a equação igual a zero.
Lembre-se: O coeficiente a nunca pode ser igual a zero, pois isso deixaria de ser uma equação do 2º grau.
FÓRMULA DE DELTA
Apesar de estar dentro da fórmula de Bhaskara, o delta (Δ) merece destaque, pois ele determina a quantidade de soluções da equação. O cálculo do delta é feito assim: Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 Para facilitar, você pode usar nossa calculadora de delta e obter o resultado automaticamente.
O que o valor de delta indica?
- Δ > 0 → duas raízes reais diferentes
- Δ = 0 → uma raiz real
- Δ < 0 → não existem raízes reais
Além disso:
- Quando Δ > 0, a parábola corta o eixo X em dois pontos
- Quando Δ = 0, toca o eixo X uma única vez
- Quando Δ < 0, não toca o eixo X
EQUAÇÃO DO 2° GRAU COMPLETA E INCOMPLETA
Equação completa
Quando todos os coeficientes são diferentes de zero:
- 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Equação incompleta
Quando pelo menos um dos coeficientes é igual a zero:
- 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = 0
- ax² + bx = 0
- 𝑎𝑥² + 𝑐 = 0
Em ambos os casos, o termo 𝑥² deve existir e o coeficiente a ≠ 0.
COMO RESOLVER EQUAÇÃO DO 2° GRAU COMPLETA?
Resolver uma equação do 2º grau significa encontrar suas raízes. Para isso, utilizamos a fórmula de Bhaskara. No entanto, antes disso, é essencial calcular o delta. Em muitos casos, o resultado envolve divisão. Por isso, entender e aprender fração facilita bastante na hora de simplificar os resultados.
Passo a passo
- Calcule o delta;
- Se Δ < 0 → não há raízes reais;
- Se Δ ≥ 0 → aplique Bhaskara;
- Simplifique o resultado.
EXEMPLOS
1. Resolva a equação: x² – 4x + 3 = 0. Coeficientes:
- a = 1
- b = -4
- c = 3
Cálculo do delta: Δ = (−4)² − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4 Como Δ > 0, existem duas raízes reais. Aplicando Bhaskara, encontramos:
Resultado confirmado ao substituir na equação.
| x² – 4x + 3 = 0 | x² – 4x + 3 = 0 |
|---|---|
| 3² – 4.3 + 3 | 1² – 4.1 + 3 |
| 9 – 12 + 3 | 1 – 4 + 3 |
| 12 – 12 | 4 – 4 |
| 0 | 0 |
| Resultado confirmado | Resultado confirmado |
2. Resolva a equação: –x² + 2x – 1 = 0. Coeficientes:
- a = -1
- b = 2
- c = -1
Delta: Δ = 4 − 4 = 0 Como Δ = 0, temos uma única raiz:
Vamos confirmar o resultado:
| -x² + 2x – 1 = 0 |
|---|
| -(1)² + 2.1 – 1 |
| -1 + 2 – 1 |
| 2 – 2 |
| 0 |
| Resultado confirmado |
SOMA E PRODUTO
Além da fórmula de Bhaskara, é possível resolver algumas equações utilizando o método de soma e produto, que é mais rápido em certos casos. Veja o passo a passo completo em como fazer soma e produto para resolver equação do 2º grau.
Como funciona?
As raízes devem satisfazer:
- Soma = −𝑏/𝑎
- Produto = 𝑐/𝑎
Exemplo
Resolva: 2𝑥² + 4𝑥 − 30 = 0
- Produto = -15
- Soma = -2
Testando:
- 3 e -5 → satisfazem
Raízes: x = 3 e x = -5
COMO RESOLVER EQUAÇÃO DO 2° GRAU INCOMPLETA
As equações incompletas podem ser resolvidas de forma mais simples, sem necessidade da fórmula de Bhaskara.
SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Um sistema de equações é utilizado para encontrar valores que satisfazem duas ou mais equações ao mesmo tempo. Podemos usar:
- Método da substituição;
- Método da adição.
EXEMPLO
1. Calcule “x” e “y” do sistema abaixo:
Nesse caso, a melhor maneira é o método da adição, visto que eliminaremos uma incógnita.
Em seguida, vamos resolver a equação do 2° grau x² + 2x – 8 = 0.
Calculando o delta:
∆ = b² – 4ac ∆ = 2² – 4.1.(-8) ∆ = 4+32 ∆ = 36
Aplicando Bhaskara:
Em seguida, substituímos o valor encontrado na outra equação para obter a segunda incógnita.
Portanto, concluímos que a incógnita “x” é igual a 2 e a incógnita “y” pode ser -1 ou +1. Entretanto, “x” não pode ser -4, visto que isso resulta em “y” com raiz quadrada de número negativo.
GRÁFICO DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU
O gráfico da equação do 2º grau é uma parábola. Se a > 0 → concavidade para cima Se a < 0 → concavidade para baixo
Na figura acima está representado o gráfico de duas equações do segundo grau, sendo que a única diferença entre elas é o sinal do coeficiente principal.
Elementos importantes
- Concavidade → Direção da abertura
- Vértice → Ponto máximo ou mínimo
- Raízes → Onde a parábola toca o eixo X
Vértice da parábola
O vértice representa o ponto onde a parábola muda de direção.
- Ponto mínimo (a > 0)
- Ponto máximo (a < 0)
EXERCÍCIOS
Quer praticar?
Conclusão
A equação do 2º grau é fundamental para resolver diversos problemas matemáticos. Quando você entende:
- Como calcular o delta
- Como aplicar Bhaskara
- Quando usar soma e produto
Resolver qualquer equação se torna muito mais simples. E com o apoio de ferramentas como a calculadora online, o processo fica ainda mais rápido e eficiente.
Perguntas frequentes sobre equação do 2º grau
O que é equação do 2º grau?
A equação do 2º grau é uma expressão matemática no formato ax² + bx + c = 0, em que a deve ser diferente de zero. Ela é chamada assim porque a incógnita aparece elevada ao quadrado.
Como resolver uma equação do 2º grau?
Para resolver uma equação do 2º grau, você deve identificar os coeficientes a, b e c, calcular o delta (Δ) e depois aplicar a fórmula de Bhaskara. Em alguns casos, também é possível usar o método de soma e produto.
O que é delta na equação do 2º grau?
O delta é o valor calculado pela fórmula Δ = b² – 4ac. Ele indica quantas raízes reais a equação possui e ajuda a entender o comportamento da parábola no gráfico.
O que acontece quando o delta é negativo?
Quando o delta é menor que zero, a equação do 2º grau não possui raízes reais. Isso significa que a parábola não toca o eixo x.
Quando usar a fórmula de Bhaskara?
A fórmula de Bhaskara pode ser usada em qualquer equação do 2º grau completa ou incompleta. Ela é o método mais conhecido para encontrar as raízes da equação.
O que é uma equação do 2º grau incompleta?
A equação do 2º grau incompleta é aquela em que o coeficiente b ou c é igual a zero. Mesmo assim, ela continua sendo de 2º grau, desde que o termo ax² exista e a seja diferente de zero.
O que são as raízes da equação do 2º grau?
As raízes são os valores de x que tornam a equação igual a zero. No gráfico, elas representam os pontos em que a parábola toca ou corta o eixo x.
Quando usar soma e produto?
O método de soma e produto é mais indicado quando a equação possui raízes inteiras ou fáceis de identificar. Ele pode ser mais rápido do que Bhaskara em alguns casos.
CRÉDITOS
- Gráficos online – NumberEmpire.com