Conjuntos numéricos

O estudo dos conjuntos numéricos permite classificar os números e agrupar por certas características. Cada conjunto/grupo de números possui uma letra que os representa. Veja os conjuntos representados em diagrama.
Conjunto numérico diagrama

Conjunto dos números naturais

Representa todo número inteiro positivo e o zero.

Conjunto numérico Quando é adicionado o * no símbolo do conjunto dos números naturais, significa que o zero não está representado no conjunto.

Conjunto numérico

Propriedades:
1 – Qualquer número natural possui um sucessor.
2 – Qualquer número natural, exceto o zero, possui um antecessor.
3 – O conjunto dos números naturais é infinito.

Conjunto dos números inteiros

Representa todo o conjunto dos números naturais mais os números negativos.

Conjunto numérico

É possível encontrar as seguintes representações e cada uma tem um significado.
Asterisco na frente: significa que o conjunto não tem o número zero.

Conjunto numérico

Sinal de negativo na frente: o conjunto é formado somente pelos números negativos e o zero.

Conjunto numérico

Sinal de positivo na frente: o conjunto possui somente os números positivos e o zero. Nesse caso, torna se igual ao conjunto dos números naturais.

Conjunto numérico

Conjunto dos números racionais

Até aqui falamos apenas de números inteiros, mas a matemática também possui números fracionários. Portanto, esse conjunto engloba o conjunto dos números naturais e inteiros e adiciona os números fracionários.
Pela definição, pertence ao conjunto dos números racionais, qualquer número resultante da divisão entre um número qualquer “a” por “b”, sendo “b” diferente de zero.

Conjunto numérico

A divisão de “a” por ”b” resultará em um número inteiro ou fracionário, em ambos os casos pertencem ao conjunto dos números racionais.
Obs: todas as dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais.

Conjunto numérico

Leia o post de como aprender fração.

Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são fascinantes! Não podem ser obtidos pela divisão de dois números racionais e são dízimas não-periódicas. São números decimais infinitos, em que não há repetição de sequência numérica.
Alguns números irracionais merecem destaque na matemática.
1 – Número de Ouro
2 – PI
3 – √2
4 – Número de Neper
5 – √3

Conjunto dos números reais

O conjunto dos números reais engloba todos os conjuntos dos vistos até aqui: números naturais, inteiros, racionais e irracionais. É representado pela letra R.

Conjunto dos números complexos

O conjunto dos números complexos é composto pelos números que possuem uma parte que é chamada de imaginária. Essa parte imaginária é representada pela “i” e equivale a raiz quadrada de √(-1).
Exemplo de número complexo: Já pensou em como calcular a raiz quadrada de √(-16) ?

Conjunto numérico

Volume da Esfera – Exercícios Resolvidos

Volume da esferaA esfera é uma figura geométrica tridimensional, o que significa que ela tem altura, largura e profundidade. O interessante da esfera é que todas essas medidas são iguais ao diâmetro. Se traçar uma linha reta saindo de qualquer ponto da superfície da esfera e passando pelo centro até atingir o outro lado da superfície, essa será a medida do diâmetro. O raio, que é a medida que vamos utilizar na fórmula do volume da esfera, é a metade da medida do diâmetro.

Os exemplos de esferas encontradas no nosso dia a dia são bolas de futebol, tênis, basquete, vôlei e outros.

Fórmula do Volume da Esfera

A fórmula é quatro terços vezes pi vezes o cubo do raio.

Fórmula volume da esfera

Exercícios resolvidos passo a passo

OBS: em todos os exercícios considere pi=3,14.

1 – Uma esfera com raio de 6cm tem quantos cm³ de volume?

Esse é um exercício muito simples para fixação da fórmula. O enunciado já informou a medida do raio, portanto basta substituir na fórmula.
Volume da Esfera

2 – Qual o volume de uma esfera que tem raio de 9cm?

Novamente, um exercício para memorizar a fórmula. Vamos substituir o raio na fórmula. Temos que o volume é igual a quatro terços de pi vezes 9 ao cubo. Resolvendo esse pequeno problema, temos que o volume é igual a 3.052,08cm³.

Volume da Esfera

3 – Sabendo-se que o raio de uma esfera mede 5cm, calcule seu volume.

Já temos o raio, agora é colocar a informação na fórmula e fazer os cálculos.

Volume da Esfera

4 – Calcule o volume de uma esfera que possui raio de 3cm.

Vamos colocar na fórmula. Quatro terços de pi multiplicado pelo cubo do raio. Veja resolução passo a passo abaixo:

Volume da Esfera

5 – Com raio de 10cm, qual o volume dessa esfera?

Volume da Esfera

Em outra oportunidade vou ensinar como calcular a área da superfície das esferas, assim como vou disponibilizar exercícios resolvidos passo a passo para ajudar a fixar a matéria.

Veja também:

Volume do cone exercícios resolvidos
Volume do cubo exercícios resolvidos
Pirâmide exercícios resolvidos

Como aprender porcentagem

A porcentagem é uma das bases da matemática financeira. Nesse artigo, vou ensinar como aprender porcentagem. Você vai entender o que é porcentagem e vai aprender a calcular porcentagem. E como sempre digo, a melhor maneira de aprender é praticando, portanto ao final da explicação e exemplos, visite a página “Porcentagem – Exercícios Resolvidos“, resolva os exercícios e confira se está certo.

O que é porcentagem

A porcentagem é a representação de uma parte em relação a um número. Nem sempre a parte representada pela porcentagem é menor do que o número de referência. Quando a porcentagem é acima de 100%, isso significa que é maior do que o número de referência.
Veja os exemplos de porcentagem que representam partes menores ou iguais do que o número de referência. Nesse exemplo, o número de referência é 100.

* 2% de 100 = 2
* 10% de 100 = 10
* 50% de 100 = 50
* 90% de 100 = 90
* 100% de 100 = 100

Agora vejam exemplos de porcentagem que representam partes maiores do que o número de referência. Nesse exemplo, o número de referência é 100.
* 104% de 100 = 104
* 110% de 100 = 110
* 199% de 100 = 199
* 200% de 100 = 200
* 300% de 100 = 300
* 875% de 100 = 875

Porcentagem e Fração

A porcentagem pode ser representada na forma de fração e vice-versa. Isso é muito útil para a realização dos cálculos e muitas vezes a porcentagem no exercício vem na forma de fração que você deve passar para porcentagem.

Como passar porcentagem para fração e vice-versa

Representar porcentagem em fração é bem simples. O número da porcentagem é o numerador e 100 é o denominador, por isso o nome de porcen-tagem.
Por exemplo:
como aprender porcentagem 01

 

 

Agora passar fração para porcentagem requer conhecimento com fração e números fracionários. Dada uma fração, vamos dividir o numerador pelo denominador e o resultado multiplicar por 100. Pronto, convertemos fração para porcentagem. Podemos até escrever uma fórmula geral:
como aprender porcentagem 02
Exemplos:
como aprender porcentagem 03

Como calcular porcentagem

Na prática, calcular porcentagem é só uma questão de multiplicação. O grande problema nos exercícios que envolvem porcentagem é a interpretação para saber o que é para calcular, porcentagem do que. Se você consegue interpretar os exercícios, então eu digo que 90% da questão está resolvido.

Exemplo de como calcular porcentagem

Exemplo 1:
como aprender porcentagem 04

Exemplo 2:

como aprender porcentagem 05
Exemplo 3:
como aprender porcentagem 06

Questões resolvidas de porcentagem

Considere dois atletas A e B. Sabendo que o atleta A correu 20Km e que o atleta B correu 75% do que o atleta A correu, quantos Km o atleta B correu?
como aprender porcentagem 07

 

 

 

O salário de João é 80% do salário de Maria. Sabendo que Maria ganha R$5.000,00 por mês, qual o salário do João?

como aprender porcentagem 08

 

 

 

 

E se a situação fosse inversa? O exercício te fornece o salário do João e te pergunta o salário da Maria?
O salário de João é 80% do salário de Maria. Sabendo que João ganha R$4.000,00 por mês, qual o salário da Maria?
como aprender porcentagem 09

 

 

 

 

 

Sabe-se que para calcular férias é preciso adicionar um terço do salário ao salário. Considerando que Jorge tem um salário de R$2.100,00, quanto vai receber nas férias?
como aprender porcentagem 10

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é fundamental no estudo da trigonometria, mais especificamente em triângulos. Como sabemos, nem todos os triângulos são retos, portanto não é possível aplicar a o Teorema de Pitágoras. Nesses casos, temos a opção de utilizar a Lei dos Cossenos. Até mesmo em triângulos retos às vezes será necessário a aplicação da Lei dos Cossenos.

A Lei dos Cossenos pode ser utilizada para calcular a medida do lado de um triângulo, mas pode ser utilizada para calcular o ângulo. Nesse caso, você vai calcular o cosseno do ângulo e a partir do cosseno calcular o ângulo.

Fórmula da Lei dos Cossenos

Dado um triângulo qualquer, temos as seguintes relações:
lei dos cossenos 01
lei dos cossenos 02

Dica para decorar a fórmula!! Observem na fórmula, que o ângulo utilizado para o cosseno é sempre o ângulo oposto ao lado que inicia a fórmula!
Portanto, para calcular a medida de um lado de um triângulo qualquer é preciso que o exercício informe pelo menos a medida dos outros 2 lados, e o valor do cosseno do ângulo oposto ao lado que queremos calcular.

Exemplos da Lei dos Cossenos

1 – Calcule a medida do lado “L” do triângulo abaixo:
lei dos cossenos 03 lei dos cossenos 04

Na 1ª linha, apenas substitui os dados na fórmula. Na 2ª linha, resolvi as potências e as multiplicações e substitui cos(130) pelo valor informado no exercício. Na 3ª linha, somei 100+16 e realizei o jogo dos sinais – negativo com negativo fica positivo. Na 4ª linha,resolvi a multiplicação entre 80 e 0,642. Na 5ª linha, fiz a soma entre 116 e 51,36. Na 6ª linha, montei a raiz quadrada. O expoente 2 que estava em L passa como raiz quadrada para o outro lado da equação e com o sinal de + e -, pois é uma função quadrada com possibilidade de dois resultados. Na 7ª linha, exclui o resultado negativo, visto que se trata de medida e não existe medida negativa. Na 8º linha, resolvi a raiz quadrada usando uma calculadora.

2 – Calcule o valor de “x”:
Lei dos Cossenos 05

Lei dos Cossenos 06

Veja também:

Seno, cosseno e tangente
Seno exercícios resolvidos

Área do círculo – Exercícios Resolvidos

A área do círculo é facilmente calculada quando se tem a medida do raio. A fórmula para calcular a área do círculo é pi vezes o raio ao quadrado.

Veja alguns exercícios resolvidos passo a passo para aprender a aplicar a fórmula. Em todos os exercícios demonstrados aqui, utilizaremos pi=3,14.

Exercícios Resolvidos passo a passo

01 – Qual a área de um círculo de raio igual a 10m?

Resposta: Utilizando a fórmula, vamos multiplicar ‘pi’ pelo raio ao quadrado. Sabemos que pi=3,14 e o raio=10m. Dez ao quadrado é igual a 100, que multiplicado por 3,14 é igual à medida da área que é de 314m².
Area círculo
02 -calcule a área de um círculo cujo raio mede 3m?

Resposta: Temos a medida do raio e o valor de pi. O que temos a fazer é elevar o raio ao quadrado e multiplicar por pi. 3²=9, que quando multiplicado por 3,14 temos o resultado de 28,26m²
Area círculo
03 -Sabendo que o raio de um círculo mede 6cm, calcule a área desse círculo.

Resposta:Nesse caso, o raio mede 6cm e pi, como sempre (é um número constante), vale 3,14. Ao multiplicar pi pelo quadrado da medida do raio vamos ter 113,04cm².
Area círculo
04 – Utilize a fórmula da área do círculo para calcular a área de um círculo de raio 4cm.

Resposta: pi=3,14 e o raio medindo 4cm, basta elevarmos o raio ao quadrado (4²=16) e multiplicar o resultado por 3,14 que é pi. Feito isso, temos 16×3,14=50,24cm².
Area círculo
05 – Se o raio de um círculo mede 20cm, então sua área mede quantos cm²?

Resposta: Depois dos quatro exercícios anteriores não tem mais como errar essa!! Vamos elevar o raio ao quadrado e multiplicar por pi. O raio, o enunciado nos informou que mede 20cm e pi sabemos que é uma constante que vale 3,14. Portanto, temos que 20²=400. 400×3,14=12,56cm².
Area círculo

Se ficar alguma dúvida ou se quiser colocar seu exercício, poste nos comentários. O pessoal que acessa o blog, muitas vezes, responde às dúvidas colocadas por outros visitas.

Limites Exercícios Resolvidos

Noção intuitiva de limite

O limite observa o comportamento de uma função f(x), quando x tende a p.
Considere a função f(x)=x+4. Se montarmos uma tabela com valores se aproximando de f(1) pela esquerda e pela direita, vamos observar que quanto mais x tende para 1, mais f(1) tende a 5.
Limites Exercícios Resolvidos

Observe que à medida que x tende a 1 (x –> 1), f(x) tende a f(1) (f(x) –> f(1)). Portanto, o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 5. O limite de f(x) quando x tende a p não depende do valor que f(x) assume em p, mas sim dos valores próximos a f(p). Por isso, diz-se que limite é um conceito local.
A fórmula do limite, quando a função f é contínua no ponto p.
Limites Exercícios Resolvidos

Propriedades dos limites

As propriedades dos limites são muito úteis na hora de resolver exercícios. Algumas propriedades são simples de aprender e memorizar. Recomendo estudar as propriedades, pois vão te ajudar muito na resolução dos exercícios de limites.
1 – O limite da soma é igual à soma dos limites, tal como o limite da diferença é igual à diferença dos limites. Você pode escolher se resolve a soma ou subtração das funções primeiro para depois calcular o limite, ou se calcula o limite de cada função para depois somar ou subtrair os resultados.
Limites Exercícios Resolvidos

2 – O limite do produto é igual ao produto dos limites. Dependendo das funções envolvidas, fica melhor resolver o produto das funções para depois calcular o limite, assim como pode ser melhor calcular o limite de cada função para depois efetuar a multiplicação.
Limites Exercícios Resolvidos

3 – O limite do quociente é o quociente dos limites. Lembrando que o denominador tem que ser diferente de zero. A escolha da melhor forma de resolver o exercício fica a seu critério. Você pode resolver a fração das funções e depois calcular o limite do resultado ou calcular o limite de cada função e depois realizar a divisão.
Limites Exercícios Resolvidos

Exercícios resolvidos sobre Limites

1 – Calcule os limites abaixo:
a) O primeiro exercício é bem direto. Dada a função f(x)=(x+2), vamos simplesmente calcular f(1).
Limites Exercícios Resolvidos

b) O segundo exercício basta calcular f(3).
Limites Exercícios Resolvidos

c) No terceiro exercício não basta calcular f(3), pois o denominador não pode ser zero. Antes de calcular o limite será necessário mexer na função f(x) para que quando aplicarmos f(3) o denominador não fique igual a zero. Veja a solução do exercício.
Limites Exercícios Resolvidos

d)Limites Exercícios Resolvidos

e)Limites Exercícios Resolvidos

f)Limites Exercícios Resolvidos

g)Limites Exercícios Resolvidos

Matriz Exercícios Resolvidos

Nessa página disponibilizo alguns exercícios resolvidos passo a passo sobre matriz. Tem exercícios de soma, subtração e multiplicação de matrizes. O objetivo dessa página não é ensinar como realizar as operações e sim de reforçar o conhecimento já adquirido. Resolver exercícios é a melhor forma de fixar a matéria, portanto não se limitem aos exercícios propostos aqui, procure por mais exercícios e resolva até sentir confiança de que realmente aprendeu.

Vamos iniciar com alguns exercícios simples para aquecer. Continue reading “Matriz Exercícios Resolvidos”

Seno Exercícios Resolvidos

O seno é uma relação geométrica que pode ser utilizada em qualquer triângulo para calcular a medida de um dos lados do triângulo. No caso específico dos triângulos retângulos, o seno é igual razão do cateto oposto com a hipotenusa. Nos demais triângulos, aplicamos a Lei dos Senos.

Fórmula do seno em triângulos retângulos

Seno exercícios resolvidos

Fórmula da Lei dos senos

Seno exercícios resolvidos
Dado um triângulo com vértices A, B e C e lados a, b e c, a Lei dos Senos pode ser descrita como:
Seno exercícios resolvidos
Tente resolver os exercícios e se não conseguir veja a resolução passo a passo.
01 – Calcule a medida do lado x. Dados: sen45=0,707; sen120=0,866
Seno exercícios resolvidos
Como não se trata de um triangulo retângulos, vamos utilizar a Lei dos senos. Nesse triângulo, vamos igualar o lado AC sobre o seno de 45° com o lado BC sobre seno de 120°. Continue reading “Seno Exercícios Resolvidos”