Volume da Esfera – Exercícios Resolvidos

Volume da esferaA esfera é uma figura geométrica tridimensional, o que significa que ela tem altura, largura e profundidade. O interessante da esfera é que todas essas medidas são iguais ao diâmetro. Se traçar uma linha reta saindo de qualquer ponto da superfície da esfera e passando pelo centro até atingir o outro lado da superfície, essa será a medida do diâmetro. O raio, que é a medida que vamos utilizar na fórmula do volume da esfera, é a metade da medida do diâmetro.

Os exemplos de esferas encontradas no nosso dia a dia são bolas de futebol, tênis, basquete, vôlei e outros.

Fórmula do Volume da Esfera

A fórmula é quatro terços vezes pi vezes o cubo do raio.

Fórmula volume da esfera

Exercícios resolvidos passo a passo

OBS: em todos os exercícios considere pi=3,14.

1 – Uma esfera com raio de 6cm tem quantos cm³ de volume?

Esse é um exercício muito simples para fixação da fórmula. O enunciado já informou a medida do raio, portanto basta substituir na fórmula.
Volume da Esfera

2 – Qual o volume de uma esfera que tem raio de 9cm?

Novamente, um exercício para memorizar a fórmula. Vamos substituir o raio na fórmula. Temos que o volume é igual a quatro terços de pi vezes 9 ao cubo. Resolvendo esse pequeno problema, temos que o volume é igual a 3.052,08cm³.

Volume da Esfera

3 – Sabendo-se que o raio de uma esfera mede 5cm, calcule seu volume.

Já temos o raio, agora é colocar a informação na fórmula e fazer os cálculos.

Volume da Esfera

4 – Calcule o volume de uma esfera que possui raio de 3cm.

Vamos colocar na fórmula. Quatro terços de pi multiplicado pelo cubo do raio. Veja resolução passo a passo abaixo:

Volume da Esfera

5 – Com raio de 10cm, qual o volume dessa esfera?

Volume da Esfera

Em outra oportunidade vou ensinar como calcular a área da superfície das esferas, assim como vou disponibilizar exercícios resolvidos passo a passo para ajudar a fixar a matéria.

Veja também:

Volume do cone exercícios resolvidos
Volume do cubo exercícios resolvidos
Pirâmide exercícios resolvidos

Como aprender porcentagem

A porcentagem é uma das bases da matemática financeira. Nesse artigo, vou ensinar como aprender porcentagem. Você vai entender o que é porcentagem e vai aprender a calcular porcentagem. E como sempre digo, a melhor maneira de aprender é praticando, portanto ao final da explicação e exemplos, visite a página “Porcentagem – Exercícios Resolvidos“, resolva os exercícios e confira se está certo.

O que é porcentagem

A porcentagem é a representação de uma parte em relação a um número. Nem sempre a parte representada pela porcentagem é menor do que o número de referência. Quando a porcentagem é acima de 100%, isso significa que é maior do que o número de referência.
Veja os exemplos de porcentagem que representam partes menores ou iguais do que o número de referência. Nesse exemplo, o número de referência é 100.

* 2% de 100 = 2
* 10% de 100 = 10
* 50% de 100 = 50
* 90% de 100 = 90
* 100% de 100 = 100

Agora vejam exemplos de porcentagem que representam partes maiores do que o número de referência. Nesse exemplo, o número de referência é 100.
* 104% de 100 = 104
* 110% de 100 = 110
* 199% de 100 = 199
* 200% de 100 = 200
* 300% de 100 = 300
* 875% de 100 = 875

Porcentagem e Fração

A porcentagem pode ser representada na forma de fração e vice-versa. Isso é muito útil para a realização dos cálculos e muitas vezes a porcentagem no exercício vem na forma de fração que você deve passar para porcentagem.

Como passar porcentagem para fração e vice-versa

Representar porcentagem em fração é bem simples. O número da porcentagem é o numerador e 100 é o denominador, por isso o nome de porcen-tagem.
Por exemplo:
como aprender porcentagem 01

 

 

Agora passar fração para porcentagem requer conhecimento com fração e números fracionários. Dada uma fração, vamos dividir o numerador pelo denominador e o resultado multiplicar por 100. Pronto, convertemos fração para porcentagem. Podemos até escrever uma fórmula geral:
como aprender porcentagem 02
Exemplos:
como aprender porcentagem 03

Como calcular porcentagem

Na prática, calcular porcentagem é só uma questão de multiplicação. O grande problema nos exercícios que envolvem porcentagem é a interpretação para saber o que é para calcular, porcentagem do que. Se você consegue interpretar os exercícios, então eu digo que 90% da questão está resolvido.

Exemplo de como calcular porcentagem

Exemplo 1:
como aprender porcentagem 04

Exemplo 2:

como aprender porcentagem 05
Exemplo 3:
como aprender porcentagem 06

Questões resolvidas de porcentagem

Considere dois atletas A e B. Sabendo que o atleta A correu 20Km e que o atleta B correu 75% do que o atleta A correu, quantos Km o atleta B correu?
como aprender porcentagem 07

 

 

 

O salário de João é 80% do salário de Maria. Sabendo que Maria ganha R$5.000,00 por mês, qual o salário do João?

como aprender porcentagem 08

 

 

 

 

E se a situação fosse inversa? O exercício te fornece o salário do João e te pergunta o salário da Maria?
O salário de João é 80% do salário de Maria. Sabendo que João ganha R$4.000,00 por mês, qual o salário da Maria?
como aprender porcentagem 09

 

 

 

 

 

Sabe-se que para calcular férias é preciso adicionar um terço do salário ao salário. Considerando que Jorge tem um salário de R$2.100,00, quanto vai receber nas férias?
como aprender porcentagem 10

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é fundamental no estudo da trigonometria, mais especificamente em triângulos. Como sabemos, nem todos os triângulos são retos, portanto não é possível aplicar a o Teorema de Pitágoras. Nesses casos, temos a opção de utilizar a Lei dos Cossenos. Até mesmo em triângulos retos às vezes será necessário a aplicação da Lei dos Cossenos.

A Lei dos Cossenos pode ser utilizada para calcular a medida do lado de um triângulo, mas pode ser utilizada para calcular o ângulo. Nesse caso, você vai calcular o cosseno do ângulo e a partir do cosseno calcular o ângulo.

Fórmula da Lei dos Cossenos

Dado um triângulo qualquer, temos as seguintes relações:
lei dos cossenos 01
lei dos cossenos 02

Dica para decorar a fórmula!! Observem na fórmula, que o ângulo utilizado para o cosseno é sempre o ângulo oposto ao lado que inicia a fórmula!
Portanto, para calcular a medida de um lado de um triângulo qualquer é preciso que o exercício informe pelo menos a medida dos outros 2 lados, e o valor do cosseno do ângulo oposto ao lado que queremos calcular.

Exemplos da Lei dos Cossenos

1 – Calcule a medida do lado “L” do triângulo abaixo:
lei dos cossenos 03 lei dos cossenos 04

Na 1ª linha, apenas substitui os dados na fórmula. Na 2ª linha, resolvi as potências e as multiplicações e substitui cos(130) pelo valor informado no exercício. Na 3ª linha, somei 100+16 e realizei o jogo dos sinais – negativo com negativo fica positivo. Na 4ª linha,resolvi a multiplicação entre 80 e 0,642. Na 5ª linha, fiz a soma entre 116 e 51,36. Na 6ª linha, montei a raiz quadrada. O expoente 2 que estava em L passa como raiz quadrada para o outro lado da equação e com o sinal de + e -, pois é uma função quadrada com possibilidade de dois resultados. Na 7ª linha, exclui o resultado negativo, visto que se trata de medida e não existe medida negativa. Na 8º linha, resolvi a raiz quadrada usando uma calculadora.

2 – Calcule o valor de “x”:
Lei dos Cossenos 05

Lei dos Cossenos 06

Veja também:

Seno, cosseno e tangente
Seno exercícios resolvidos

Área do círculo – Exercícios Resolvidos

A área do círculo é facilmente calculada quando se tem a medida do raio. A fórmula para calcular a área do círculo é pi vezes o raio ao quadrado.

Veja alguns exercícios resolvidos passo a passo para aprender a aplicar a fórmula. Em todos os exercícios demonstrados aqui, utilizaremos pi=3,14.

Exercícios Resolvidos passo a passo

01 – Qual a área de um círculo de raio igual a 10m?

Resposta: Utilizando a fórmula, vamos multiplicar ‘pi’ pelo raio ao quadrado. Sabemos que pi=3,14 e o raio=10m. Dez ao quadrado é igual a 100, que multiplicado por 3,14 é igual à medida da área que é de 314m².
Area círculo
02 -calcule a área de um círculo cujo raio mede 3m?

Resposta: Temos a medida do raio e o valor de pi. O que temos a fazer é elevar o raio ao quadrado e multiplicar por pi. 3²=9, que quando multiplicado por 3,14 temos o resultado de 28,26m²
Area círculo
03 -Sabendo que o raio de um círculo mede 6cm, calcule a área desse círculo.

Resposta:Nesse caso, o raio mede 6cm e pi, como sempre (é um número constante), vale 3,14. Ao multiplicar pi pelo quadrado da medida do raio vamos ter 113,04cm².
Area círculo
04 – Utilize a fórmula da área do círculo para calcular a área de um círculo de raio 4cm.

Resposta: pi=3,14 e o raio medindo 4cm, basta elevarmos o raio ao quadrado (4²=16) e multiplicar o resultado por 3,14 que é pi. Feito isso, temos 16×3,14=50,24cm².
Area círculo
05 – Se o raio de um círculo mede 20cm, então sua área mede quantos cm²?

Resposta: Depois dos quatro exercícios anteriores não tem mais como errar essa!! Vamos elevar o raio ao quadrado e multiplicar por pi. O raio, o enunciado nos informou que mede 20cm e pi sabemos que é uma constante que vale 3,14. Portanto, temos que 20²=400. 400×3,14=12,56cm².
Area círculo

Se ficar alguma dúvida ou se quiser colocar seu exercício, poste nos comentários. O pessoal que acessa o blog, muitas vezes, responde às dúvidas colocadas por outros visitas.

Limites Exercícios Resolvidos

Noção intuitiva de limite

O limite observa o comportamento de uma função f(x), quando x tende a p.
Considere a função f(x)=x+4. Se montarmos uma tabela com valores se aproximando de f(1) pela esquerda e pela direita, vamos observar que quanto mais x tende para 1, mais f(1) tende a 5.
Limites Exercícios Resolvidos

Observe que à medida que x tende a 1 (x –> 1), f(x) tende a f(1) (f(x) –> f(1)). Portanto, o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 5. O limite de f(x) quando x tende a p não depende do valor que f(x) assume em p, mas sim dos valores próximos a f(p). Por isso, diz-se que limite é um conceito local.
A fórmula do limite, quando a função f é contínua no ponto p.
Limites Exercícios Resolvidos

Propriedades dos limites

As propriedades dos limites são muito úteis na hora de resolver exercícios. Algumas propriedades são simples de aprender e memorizar. Recomendo estudar as propriedades, pois vão te ajudar muito na resolução dos exercícios de limites.
1 – O limite da soma é igual à soma dos limites, tal como o limite da diferença é igual à diferença dos limites. Você pode escolher se resolve a soma ou subtração das funções primeiro para depois calcular o limite, ou se calcula o limite de cada função para depois somar ou subtrair os resultados.
Limites Exercícios Resolvidos

2 – O limite do produto é igual ao produto dos limites. Dependendo das funções envolvidas, fica melhor resolver o produto das funções para depois calcular o limite, assim como pode ser melhor calcular o limite de cada função para depois efetuar a multiplicação.
Limites Exercícios Resolvidos

3 – O limite do quociente é o quociente dos limites. Lembrando que o denominador tem que ser diferente de zero. A escolha da melhor forma de resolver o exercício fica a seu critério. Você pode resolver a fração das funções e depois calcular o limite do resultado ou calcular o limite de cada função e depois realizar a divisão.
Limites Exercícios Resolvidos

Exercícios resolvidos sobre Limites

1 – Calcule os limites abaixo:
a) O primeiro exercício é bem direto. Dada a função f(x)=(x+2), vamos simplesmente calcular f(1).
Limites Exercícios Resolvidos

b) O segundo exercício basta calcular f(3).
Limites Exercícios Resolvidos

c) No terceiro exercício não basta calcular f(3), pois o denominador não pode ser zero. Antes de calcular o limite será necessário mexer na função f(x) para que quando aplicarmos f(3) o denominador não fique igual a zero. Veja a solução do exercício.
Limites Exercícios Resolvidos

d)Limites Exercícios Resolvidos

e)Limites Exercícios Resolvidos

f)Limites Exercícios Resolvidos

g)Limites Exercícios Resolvidos

Matriz Exercícios Resolvidos

Nessa página disponibilizo alguns exercícios resolvidos passo a passo sobre matriz. Tem exercícios de soma, subtração e multiplicação de matrizes. O objetivo dessa página não é ensinar como realizar as operações e sim de reforçar o conhecimento já adquirido. Resolver exercícios é a melhor forma de fixar a matéria, portanto não se limitem aos exercícios propostos aqui, procure por mais exercícios e resolva até sentir confiança de que realmente aprendeu.

Vamos iniciar com alguns exercícios simples para aquecer. Continue reading “Matriz Exercícios Resolvidos”

Seno Exercícios Resolvidos

O seno é uma relação geométrica que pode ser utilizada em qualquer triângulo para calcular a medida de um dos lados do triângulo. No caso específico dos triângulos retângulos, o seno é igual razão do cateto oposto com a hipotenusa. Nos demais triângulos, aplicamos a Lei dos Senos.

Fórmula do seno em triângulos retângulos

Seno exercícios resolvidos

Fórmula da Lei dos senos

Seno exercícios resolvidos
Dado um triângulo com vértices A, B e C e lados a, b e c, a Lei dos Senos pode ser descrita como:
Seno exercícios resolvidos
Tente resolver os exercícios e se não conseguir veja a resolução passo a passo.
01 – Calcule a medida do lado x. Dados: sen45=0,707; sen120=0,866
Seno exercícios resolvidos
Como não se trata de um triangulo retângulos, vamos utilizar a Lei dos senos. Nesse triângulo, vamos igualar o lado AC sobre o seno de 45° com o lado BC sobre seno de 120°. Continue reading “Seno Exercícios Resolvidos”

Produtos Notáveis Exercícios Resolvidos

Os produtos notáveis são grandes facilitadores na hora de resolver exercícios. É fundamental para qualquer aluno que pretende prestar vestibular ou Enem conhecer bem os produtos notáveis. Para revisar, os produtos notáveis mais conhecidos são:

Quadrado da soma de dois termos

A fórmula para esse é: o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.
Produtos Notáveis
01 – Resolva os produtos notáveis abaixo: Continue reading “Produtos Notáveis Exercícios Resolvidos”